Функция с модулем

Функция с модулем

•Функция вида y=|x|.
•График функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у=х, а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у=-х.

Рассмотрим сначала простейший случай – функцию y=|x|. По определению модуля, имеем:

Таким образом, для х≥0 функция y=|x| совпадает с функцией у=х, а для х

Пример 1. Построить график функции y=||1-x 2 |-3|.
Построим график функции y=1-x 2 и применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3.

Применим операцию «модуль» и получим окончательный график функции y=||1-x 2 |-3|

Пример 2. Построить график функции y=||x 2 -2x|-3|.
В результате преобразования получаем y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Построим график функции y=(x-1) 2 -1: строим параболу y=x 2 и выполняем сдвиг вправо на 1 и вниз на 1.

Применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3 и применим операцию «модуль», в результате получим окончательный график.

Пример 3. Построить график функции .
Чтобы раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая:
1)x>0, тогда модуль раскроется со знаком "+" =
2)x 0, в итоге получим.

Соединим два графика и получим окончательный.

Пример 4. Построить график функции .
Построим сначала график функции .Для этого удобно выделить целую часть, получим . Строя по таблице значений, получаем график.

Применим операцию модуль (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX). Получаем окончательный график

Пример 5. Построить график функции y=|-x 2 +6x-8|. Cначала упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика ниже оси OX, относительно оси OX

Пример 6. Построить график функции y=-x 2 +6|x|-8. Также упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее оси оY, в левую часть

Пример 7. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:

Применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее прямой x=3 в левую полуплоскость.

Пример 8. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Построим график функции

Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:

Теперь применим операцию «модуль» и симметрично отразим часть графика правее оси OY

Пример 9. Построить график функции . Построим график функции из Примера 7,

Теперь применим операцию «модуль» ко всей функции

Пример 10. Построить график функции . Построим график функции из Примера 8,

Теперь применим операцию «модуль» ко всей функции

Неравенства с модулем, примеры решений

Для получения окончательного ответа объединим полученные решения:

Т-54 первый образец модули

ТТХ танка (сток/топ)

1 570 / 1 650 Прочность (HP.)
38,7 / 39 Предельная масса танка (т.)
34 / 34.88 Масса танка (т.)
620 / 680 Мощность (л.с.)
56 Максимальная скорость (км/ч.)
45 / 48 Скорость поворота (град./с.)
56 / 51 Скорость поворота башни (град./с.)
120/80/45 Бронирование корпуса (мм.)
200/108/65 / 200/160/65 Бронирование башни (мм.)
50 Боекомплект (шт.)
173-288 / 240-400 Урон базовым снарядом (HP.)
131-219 / 164-274 Бронепробиваемость базовым снарядом (мм.)
8.57 / 8.40 Скорострельность (выстр./мин.)
440 / 450 Обзор (м.)
600 / 830 Дальность связи (м.)

I. Экипаж.
1. Командир
2. Наводчик
3. Механик-водитель
4. Заряжающий

II. Плюсы и минусы Т-54.

+ Скорость до 56км/ч.
+ Низкий профиль танка. (Был до патча)
+ Рациональный угол наклона передних бронелистов.

- Сбитие траков на ходу черевато разворотом танка.
- "Заоблочная" цена ремонта танка.

Т-54 - стоковая ходовая она же топовая для Т-44. По прямой выдает 50км/ч, на первое время так же хватит.

Т-54М - после установки ( с топовым двигателем и экипажем 100%) скорость вырастает до 55км/ч из заявленных 56км/ч. С исследованием так же бы повременил и копил бы опыт на изучение Д-54, благо стоковая ходовая позволяет нацепить на Т-54 все модули и тонну картошки сверху.

В-2-54(620лс) - стоковый двигатель Т-54, он же топовый для Т-44. На гору взбирается не уже, чем та же Т-44, на первых парах более чем достаточно.

В-55У(680лс) - различие со стоковым в 60лс, что дает ощутимую прибавку к динамике танка. С исследованием стоит повременить, весь опыт следует направить на изучение орудия Д-54.

Радиостанция Дальность(м) Цена
9РМ 600 24 240
Р113 830 52 200

Отсутствие топовой радиостанции не критично, поэтому изучается самой последней, если не была изучена ранее на Т-44.

Орудие Урон(ББ/ОФ) Пробитие(ББ/ОФ) Скорострельность Цена Разброс
Д-10Т (VII) 230/330 175/50 8.57 93 700 0.34
ЛБ-1 (VII) 230/330 175/50 10 130 750 0.31
Д-54 (IX) 320/420 219/50 8.4 221 000 0.34

Д-10Т образца 1945 года - давно знакомое ещё с Т-34-85, Т-43 и Т-44 орудие. Превосходит обычное Д-10Т разве что по скорострельности и точности в остальном полностью идентично.
Для 9 танка уровня имеет довольно низкие урон, скорострельность и пробиваемость.

ЛБ-1 - идентично предшественникам Д-10 и Д-10Т об. 1945г. Опять же отличается только большей скорострельностью и точностью. Недостаток в пробиваемости и уроне компенсируется высокими ДПС за минуту и точностью стрельбы, является хорошим фармовым орудием.

Д-54 - идеальное орудие для своего уровня, имеет только один недостаток - высокую цену как самого орудия, так и снарядов к нему. Для пополнения полного БК после его покупки придется раскошелится на 60 000 кредитов.

Д-10Т обр. 1945/ЛБ-1.

Снаряд Пробиваемость Урон Цена/шт
ББ 131-219 173-288 252
ОФ 38-63 248-413 252

Снаряд Пробиваемость Урон Цена/шт
ББ 164-274 240-400 1 230
ОФ 38-63 315-525 1 170

Башня Прочность танка Бронирование Обзор Поворот Цена
Т-54 обр. 1946г. 1 570 200/108/65 440 56 31 400
Т-54 обр. 1949г. 1 650 200/160/65 450 51 22 000

Скорость поворота топовой башни заметно ниже, чем у стоковой, но опыт показывает, что при попадании в борт башни шанс взрыва БК, поломки и вывода из строя членов экипажа заметно выше у стоковой.

Т-54 в реальности
Когда речь заходит о бронетанковой технике, созданной в период второй мировой войны, то, по единодушному мнению военных специалистов, лучшим танком по комплексу боевых качеств был советский Т-34. Впрочем, мы можем назвать еще KB и ИС - тяжелые танки. Однако были и другие боевые гусеничные машины, сыгравшие немалую роль в боевых действиях и оказавшие существенное воздействие на послевоенное развитие этого рода войск. Это американский М-4, английский "Центурион", немецкая "Пантера". У каждого из них были определенные достоинства и удачные конструктивные решения, которые были использованы создателями бронетанковой техники. Если попросить специалиста назвать три лучших в мире танка, созданных в послевоенные годы, то среди них наверняка будет упомянут советский Т-54. Ведь в нем наиболее полно был осмыслен опыт применения бронетанковой техники во второй мировой войне. "Танк Т-54 отличается достаточной подвижностью, рациональной конфигурацией корпуса и башни и более мощным вооружением, чем у машин этого класса других государств,- отмечал, к примеру, западногерманский эксперт Ф. Зенгер-унд-Эттерлин. - Форма башни заслуживает самой положительной оценки!". Усиление бронезащиты танков и самоходок вермахта в последний период второй мировой войны заставило советских конструкторов повышать огневую мощь боевых машин, в том числе наиболее массовых - средних танков.

В 1944 году сотрудники конструкторского бюро Уральского танкового завода разработали самоходную артиллерийскую установку СУ-100 с дальнобойной 100-мм пушкой Д-10 С, которая прекрасно зарекомендовала себя в боях. Было решено поместить Д-10С во вращающуюся башню танка, и в следующем году изготовили несколько Т-34-100. Но на испытаниях выявилось неприятное обстоятельство - трансмиссия машины оказалась слабой для такой артсистемы, экипаж не мог вести огонь на ходу. Однако опыт, накопленный в ходе создания усиленной тридцатьчетверки, помог при работе над модернизированным Т-44-100, а также новым танком. После испытаний и неизбежных доводок его приняли на вооружение под обозначением "Т-54 образца 1946 года". Простой и технологичный корпус Т-54 в основном заимствовали у Т-44. Как и у того, на лобовом листе не было смотровой щели для механика-водителя, а вместо нее на крыше корпуса установили два призменных, перископических прибора наблюдения МК-1К. Лобовой лист, став монолитным, лучше переносил попадания снарядов. Более крупную башню улучшенной конфигурации, у которой толщина брони в лобовой части достигала 200 мм, также разместили в центре танка. Она несколько выходила за габариты корпуса, поэтому по бортам сделали местные утолщения. В цилиндрической маске установили пушку Д-10Т и спаренный с нею 7,62-мм пулемет СГ-43.

В таком виде машину выпускали до модернизации в 1949 году. Статистика показала, что 90% попаданий в танки приходилось примерно в метре от земли, а раз так, толщину лобового листа уменьшили. Применили башню с узкой амбразурой для пушки. На первых Т-54 ее снимали с маской, теперь, приподняв башню сзади, выкатывали спаренную установку на корму. Пулеметы на гусеничных полках убрали, а зенитный оборудовали улучшенной турелью. В силовой установке применили усовершенствованный мультициклонный воздухоочиститель с масляной ванной и эжекционным отсосом пыли, а также форсуночный предпусковой подогреватель масла, сокративший подготовку двигателя к запуску в холодную погоду. Позже подобными агрегатами оснащали все образцы бронетанковой техники. Гусеницу расширили на 80 мм, уменьшив удельное давление машины на грунт. Спустя два года, в разгар "холодной войны", когда на вооружение армии США поступило ядерное оружие, Т-54 вновь модифицировали. Новая полусферическая башня без замана (обратный скос) стала прочнее и проще в производстве.

На танке появился новый прицел и улучшенные уплотнения трущихся частей, подшипников и электроприборов, защищавшие их от пыли, а также детали, к которым крепили трал. В том же году выпустили Т-54А, оборудованный "Горизонтом" - стабилизатором пушки в вертикальной плоскости с автоматизированным электроприводом наведения и эжекционным устройством для продувки ствола - уменьшилась загазованность боевого отделения после выстрела. Теперь танкисты могли вести прицельный огонь и на ходу. В силовой установке установили ступенчатый воздухоочиститель и управляемые жалюзи радиаторов для поддержания оптимального режима работы дизеля. В 1952 году провели новую, теперь уже комплексную модернизацию машины, завершившуюся появлением Т-54Б, отличавшегося от предыдущих наличием "Циклона" - стабилизатора вооружения в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Это значительно повысило точность огня из пушки Д-10Т2С с ходу. Места командира, наводчика и механика-водителя оборудовали инфракрасными приборами ночного видения и ночным прицелом, Кроме того, пятьдесятчетверки последних серий оснащались комплектом для самостоятельного форсирования водных преград. Это были труба-воздухозаборник, крепившаяся на вентиляторе, клапан для выброса за борт отработавших газов, водоотливной насос, гирокомпас и комплект для уплотнения крыши моторно-трансмиссионного отделения, маски и погона башни и амбразур.

Экипированный ими танк мог, что называется, вброд преодолевать реки глубиной до 5 м и шириной 700 м. С 1954 года небольшой серией производили командирский Т-54К, имевший в отличие от базового образца две радиостанции, зарядный агрегат, навигационное оборудование и другую аппаратуру, из-за которой пришлось несколько уменьшить боекомплект. Кроме того, двумя годами раньше создали ОТ-54. У него вместо спаренного с пушкой пулемета стоял автоматический пороховой огнемет АТО-1, а в носовой части размещался бак, вмещавший 460 л огнесмеси. Она подавалась в АТО-1, и когда на его поршень давили пороховые газы, образовавшиеся после последовательного подрыва спецпатронов, он выбрасывал струю пламени на дистанцию 160 м. Автоматическая перезарядка позволяла танкистам в буквальном смысле слова вести огонь очередями по 15-20 выстрелов в минуту. С 1946 года Т-54 и его модификации по всем параметрам превосходили иностранные средние танки, а его орудие было самым мощным. Лишь спустя 12 лет англичане создали более мощную танковую пушку калибром 105 мм. На базе пятьдесятчетверки у нас выпускали самоходную артиллерийскую установку СУ-122, тягач БТС-2 и подъемный кран СПК-12Г. Производившиеся массовой серией Т-54 поставлялись странам - членам Варшавского Договора и в некоторые государства Ближнего Востока, где, кстати, успешно прошли боевое крещение. А в КНР эта машина выпускалась под маркой Т-59.

ТАКТИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Т-54А

Боевая масса, т 36,4
Экипаж, чел 4
Размеры длина с пушкой вперед 9000
длина корпуса 6040
ширина 3270
высота по крышу башни 2400
клиренс 425
Пушка
марка / тип Д-10ТГ / НП
калибр, мм 100
Пулеметы зенитный, марка / калибр, мм ДШК / 12.7
спаренный и курсовой 2 х СГ-43 / 7.62
Боекомплект выстрелов 34
патронов 12.7 мм 200
патронов 7.62 мм 3500
Двигатель марка / тип В-54 / дизель
мощность, л.с. 520
Максимальная скорость, км/ч 50
Запас хода, км 440
Удельное давление, кг/см2 0.81
Препятствия, м вертикальная стенка 0.8
ров 2.7
брод 1.4
крен и подъем, град 30

Решение уравнений с модулями

"Решить уравнение с модулями" или "Найти решения уравнения с модулем" – одни из самых популярных заданий в школьном курсе математики, у многих на первом курсе в ВУЗах при изучении модулей. Примеры легко сводятся к обычным уравнениям при знании правил - а они достаточно просты. При раскрытии модуля требуется найти точки в которых подмодульная функция принимает нулевое значение. Истинную ось разбить найденными точками на интервалы и установить знаки функции на каждом из них. Дальше раскрывают модули по правилу:
Если подмодульная функция положительная то модули раскрывают без изменений. Если отрицательная то раскрывая модуль функцию берут со знаком минус.
Все это напрямую следует из определения модуля числа:

После вычислений проверяют принадлежит найденное решение рассматриваемому интервалу или нет. Таким образом отсеивают лишние результаты.
Для наглядности перейдем к вычислениям .

Пример 1. Найти решение уравнения

Решение:
Этот пример является простейшим типом уравнений с модулями. В первую очередь уравнение содержит модуль один раз и переменная входит линейно.
Находим точку в которой выражение под знаком модуля обращается в нуль

Справа от этой точки выражение под модулем принимает положительное значение, слева - отрицательное.
Раскрывая модуль получим два уравнения с условиями на неизвестную

Находим решения уравнения


Такого типа уравнение с модулем можно решить графическим методом. В результате получим следующий вид функций

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение: Решаем по схеме предыдущего примера.
Находим точки в которых модули превращаются в ноль.


Обе точки разделяют действительную ось на интервалы.

Обозначаем знаки подмодульных функций на найденных интервалах. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала



Для удобства можете обозначать интервалы графически, некоторым это очень помогает, но можно обойтись только приведенными выше записями.
Раскрываем модули учитывая знаки и находим решения.



Последнее решение не имеет смысла, поскольку не принадлежит промежутку на котором его находим. Таким образом уравнения удовлетворяют значения

Графики модуль-функций приведены ниже, точки их пересечения и являются решением.

Пример 3. Найти решение уравнения

Решение: Находим точки, которые разбивают ось на области знакопостоянства


Определяем знаки подмодульных функций на этих областях



Раскрываем модули и вычисляем



Второе и третье значение не принадлежат области, следовательно уравнению отвечает только x=-4.
Ниже модули изображены графически

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение: Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений


Решаем каждое из квадратных уравнений. Дискриминант у них будет одинаковый

Находим корни первого уравнения

и второго

Обозначенные корни уравнения не относятся области на которой искали решение. Окончательно получим

На графике модуль-функции решение является пересечением с осью Ox

Пример 5. Решить модульное уравнения

Решение: Точка x=-4 делит область на интервалы

На первом интервале получим квадратное уравнение

на втором соответственно следующее

Вычисляем дискриминант первого


и корни

Второе уравнение будет иметь решения




Два корня отпадают, а два являются решениями

График функции с модулем вместе с точками пересечения иллюстрирует следующий рисунок

Пример 6. Решить модульное уравнения

Решение: Схема решения предыдущая. Находим нули

Делим область на пять интервалов в которых находим знаки функций





Раскроем модули для первой и пятой областей

Данные точки принадлежат краю области, однако при подстановке уравнение превращается в тождество.
Второй интервал

превращается в тождество, следовательно все точки интервала включая краями являются решениями.
Третий интервал


дает два корня. которые удовлетворяют исходное уравнение с модулями.
На четвертом интервале уравнение превратится в тождество,

это означает, что все точки из интервала являются решениями .
Таким образом. решением будут два промежутка

Для наглядности графики модуля вместе с правой частью изображены графически

Пример 7. Найти решение уравнения

Решение: Имеем квадратное уравнение под модулем, кроме того переменная в нем также содержится под модулем. Такого рода задачи вызывают немало трудностей при решении у начинающих, но для профи такие примеры не сложные. В первую очередь избавляемся модуля у переменной.


Такого рода примеры приводят к большому количеству областей, поэтому можно решать применяя разбиение на промежутки, а можно решать самые уравнения, а после того проверять решения подстановкой.
Оба уравнения при раскрытии модулей дают следующие




Находим корни первого уравнения




Решаем второе квадратное уравнение



С третьего уравнения




получаем два решения.
Из последнего - 4 уравнения



получаем два корня. Всего получили 8 решений уравнения с модулями. Проверка подстановкой показывает что они все подходят. Также для подтверждения ниже приведен график фигурирующих модулей.

Все рассмотренные примеры достаточно просто решаются в математическом пакете Maple. Код программы с решениями приведен ниже
> restart;
> Q1:=abs(5*x-10)=11;

> solve(Q1,x);

> Q2:=abs(1-5*x)=abs(2-x);
> solve(Q2,x);


> Q3:=abs(x+3)-abs(x-5)=3*x+4;
> solve(Q3,x);


> Q4:=x^2-5*abs(x)-24=0;
> solve(Q4,x);


> Q5:=x^2-4*abs(x+4)=28;
> solve(Q5,x);


> Q6:=abs(x^2-9)+abs(x^2-16)=7;
> solve(Q6,x);


> Q7:=abs(x^2-6*abs(x)+4)=1;
> solve(Q7,x);

Уравнение с модулями требуют большого внимания при решении. Самая меньшая невнимательность или ошибка со знаком может привести к лишним решениям или их нехватке. При вычислениях можете выполнять проверку методом подстановки или с помощью Maple или других известных Вам программ.